3点微分について（習作）

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【目次】

１．はじめに
２．GPT氏に聞いてみた
３．リチャードソン外挿法
４．実用例
５．まとめ

１．はじめに

数値計算と呼ばれる分野で、与えられた数値から信号の微分値を求める方法に、3点微分というものがあります。簡潔に精度を上げて計算できるということで、ロボットの制御などで応用されているようです。
（唐突に話が始まる、など）

今回は数式を久しぶりに書いてみたいというのもある感じで進めていきます。

２．GPT氏に聞いてみた

ChatGPTに3点微分の公式を聞いてみたところ、

$\dfrac {df(x)}{dx} = \dfrac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}　　　(1)$

という式を提示してくれました。この式は以下の式

$\dfrac {df(x)}{dx} = \dfrac {f(x)-f(x-2h)}{2h}　　　(2)$

と似ていますが、実は計算の精度の点で違いがあります。まずはその点から見ていきます。

まず $f(x+h)$ についてテイラー展開をすると、

$f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \dfrac{1}{2!} h^2 f''(x) + \dfrac{1}{3!} h^3 f'''(x) + \cdot\cdot\cdot$

となります。 $h^3$ 以上の項は以下では $o(h^3)$ と表すことにします。すなわち、

$f(x+h) = f(x) + hf'(x) + \dfrac{1}{2!} h^2 f''(x) + o(h^3)$

とします。（ $o(h^3)$ は $h$ を0に近づけていくと、この項が $h^3$ のオーダーで0に近づいていくことを意味します）

また $f'(x)$ はxの1階微分、 $f''(x)$ はxの2階微分を意味しています。（3階微分も同じ）

$f(x-h)$ も同様にテイラー展開して(1)式の分母に代入すると、

$\begin{eqnarray} \left((1)式の分子\right) &=& f(x) + hf'(x) + \dfrac{1}{2!} h^2 f''(x) + o(h^3) \\ &\quad&-\{f(x) - hf'(x) + \dfrac{1}{2!} h^2 f''(x) + o(h^3) \} \\ &=& 2hf'(x) + o(h^3) \end{eqnarray}$

うまく $h^2$ の項が消えました。結果、

$（1式）=\dfrac{ 2hf'(x) + o(h^3) } {2h} = f'(x) + o(h^2)$

( $\because \dfrac{o(h^3)}{2h}=o(h^2)$ )

となります。

一方（２）式について見てみると、

$\begin{eqnarray} （2）式の分子 &=& f(x)-f(x-2h) \\ &=& f(x) - \{ f(x) -2hf'(x) + 4h^2 \dfrac{1}{2!} f''(x) + o(h^3)\} \\ &=& 2hf'(x) +2h^2f''(x) + o(h^3) \end{eqnarray}$

したがって

$\begin{eqnarray} \dfrac {f(x)-f(x-2h)}{2h} &=& \dfrac{2hf'(x) +2h^2f''(x) + o(h^3)}{2h} &=& f'(x) + hf''(x) + o(h^2) \end{eqnarray}$

となります。結果としてhの項が残ってしまい、収束の度合いとしては $o(h)$ となることが分かります。

つまりChatGPTが示してくれた公式の方が誤差は $o(h^2)$ なので、精度が高いと言えます。

３．リチャードソン外挿法

ここで一つ問題が現れます。
現時点で数値処理したいデータがそろっている場合なら問題はないのですが、ロボットなどようにリアルタイムで計算処理する場合、時刻 $t$ において時刻 $t+h$ における関数 $f(t+h)$ の値は観測できません。

$h$ だけ時間をずらしてもよさそうですが、それは２章の（２）式と同じになるので、精度は $o(h)$ に落ちてしまいます。

そこで登場するのがリチャードソン外挿法です。リチャードソン外挿法とは、「異なる間隔 $h$ を用いた数値微分結果を組み合わせて、誤差を打ち消すことによって精度を向上させる手法」のことです。（ChatGPTより引用）

具体的に見ていきます。

$\dfrac {df(x)}{dx} = \alpha \dfrac {f(x)-f(x-h)}{h} + \beta \dfrac {f(x)-f(x-2h)}{2h}　　　(3)$

といった具合に、時間幅 $h$ と $2h$ の異なる値を用いて微分値の近似値を計算するという訳です。式の中の $\alpha$ と $\beta$ の値はこれから決めていきます。
（めんどくさい方は下の方をご覧ください）

（３）式の分母を $2h$ と置き、分子をまとめて見ていきます。

$\begin{eqnarray} （３）式の分子 &=& 2\alpha \{f(x)-f(x-h)\} + \beta \{f(x)-f(x-2h)\} \\ &=& 2\alpha f(x) - 2\alpha f(x-h) + \beta f(x) - \beta f(x-2h) \end{eqnarray}$

$f(x-h)$ と $f(x-2h)$ をテイラー展開すると、

$\begin{eqnarray} （３）式の分子 &=& 2\alpha f(x) - 2\alpha \{ f(x) - hf'(x) + \dfrac{1}{2!} h^2 f''(x) + o(h^3) \} \\ &\quad&+ \beta f(x) - \beta \{ f(x) -2hf'(x) + 4h^2 \dfrac{1}{2!} f''(x) + o(h^3) \} \\ &=& 2\alpha hf'(x) - \alpha h^2 f''(x) + o(h^3) + 2\beta hf'(x) - 2\beta h^2 f''(x) + o(h^3) \\ &=& ( 2\alpha + 2\beta ) hf'(x) - ( \alpha + 2\beta ) h^2 f''(x) + o(h^3) \end{eqnarray}$

となります。

※ここで注意しておきますが、 $o(h)$ に関してですが（ここでは $h$ の1乗）、これは収束の度合いを含んだ誤差を意味しており、 $o(h)$ 同士で足し算や引き算をしたり、一定の値（ゼロ以外）を掛けたとしても、誤差の値は変わるかとは思いますが、誤差なので正確な値を示す必要はなく、収束の度合い（オーダー）は変わらないので、 $o(h)$ という表記は変わらないです。

上の式より、分母が $2h$ であることも考え合わせて、

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} 2\alpha + 2\beta &=& 2 \\ \alpha + 2\beta &=& 0 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

とすればよいことが分かります。これらを解いて、

$\begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{rcl} \alpha &=& 2 \\ \beta &=& -1 \end{array} \right. \end{eqnarray}$

が導かれます。これを（３）式に代入すると、

$\begin{eqnarray} \dfrac {df(x)}{dx} &=& 2 \dfrac {f(x)-f(x-h)}{h} - \dfrac {f(x)-f(x-2h)}{2h}　　　(3) \\ &=& \dfrac{4f(x)-4f(x-h) - f(x) + f(x+2h)}{2h} \\ &=& \dfrac{3f(x)-4f(x-h) + f(x+2h)}{2h} \end{eqnarray}$