交流信号の実効値、平均値を求めてみた

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【目次】

１．はじめに？？
２．平均値　（ave：average value）
３．実効値　（rms：root mean square value）
４．平均値、実効値、最大値の間の関係

１．はじめに？？

　数式を書いてみたくなった、ただそれだけです。

２．平均値 $\displaystyle V_ \mathrm{ave}$ 　（ave：average value）

　交流信号を
　 $e(\theta) = V_0 \sin \theta \quad (1)$

と置きます。（ $e(\theta)$ は $e(t)$ と書くべきなのでしょうが、ここでは面倒なのでこの書き方で進めます）
平均値は一定の区間で積分したのち、その区間の幅で割算をすると求められます。
したがって、

$\begin{aligned} V_ \mathrm{ave} &= \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} V_0 \sin \theta d \theta \quad (2) \quad（積分区間は [ 0, \pi] としました）\\ &= \dfrac{1}{\pi} V_0 \left [ -\cos\theta \right ]_{0}^{\pi} \\ &= \dfrac{1}{\pi} V_0 \{-(-1) - (-1)\} \\ &= \dfrac{2}{\pi} V_0 \quad \quad \quad \quad (3) \\ \end{aligned}$

３．実効値 $\displaystyle V_ \mathrm{rms}$ 　（rms：root mean square value）

　次に実効値を求めます。実効値は交流信号を2乗して一定区間で積分し、その結果をその区間の幅で割った後、ルートを取ったものになります。
　実際には次式により求められます。
　 $\displaystyle V_ \mathrm{rms} = \sqrt{ \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} V_0^2 \sin^2 \theta d \theta}\quad (4)$
ここで加法定理にて、
　 $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$
また
　 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
なので、
　 $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$
より
　 $\cos 2 \theta = (1 - \sin^2 \theta) - \sin^2 \theta = 1 - 2 \sin^2 \theta$
となるので、
　 $\sin^2 \theta = \displaystyle \dfrac{1 - \cos 2 \theta}{2}\quad (5)$
が得られます。これを（４）式に代入すると、

$\begin{aligned} 　 V_ \mathrm{rms} &= \sqrt{ \dfrac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} V_0^2 \dfrac{1 - \cos 2\theta}{2} d \theta} \\ 　&= \sqrt{ \dfrac{1}{2\pi} V_0^2 \left[\theta - \dfrac{\sin 2\theta}{2} \right]_{0}^{\pi}} \\ 　&= \sqrt{ \dfrac{1}{2\pi} V_0^2 \left\{\pi - \dfrac{(0 - 0)}{2} \right\}} \\ 　&= \sqrt{\dfrac{1}{2} V_0^2 } \\ 　&= \dfrac{1}{\sqrt{2}} V_0 \quad \quad \quad (6) \\ \end{aligned}$

となります。

４．平均値 $V_ \mathrm{ave}$ 、実効値 $V_ \mathrm{rms}$ 、最大値 $V_0$ の間の関係

（１）　実効値 $V_ \mathrm{rms}$ が100[V] のとき、最大値 $V_0$ は（６）式より
　 $V_0 = \sqrt{2} V_ \mathrm{rms}$
なので、
　 $V_0 = 100 \sqrt{2} [V] \fallingdotseq 141 [V]$
となります。