Tanuki_Bayashin’s diary

電子工作を趣味としています。最近はラズベリーパイPicoというマイコンを使って楽しんでいます

2ｘｙ=(ｘ+1)(ｙ+1) の式を満たす整数解について

数学

豆腐を切っていてふと思いついた。 2×3で豆腐を切ると6個、1ずつ足して、3×4で切ると12。なので、

問：以下の式でxとyを満たす整数の組を全て求めよ。但し、x < y とする。
2xy=(x+1)(y+1)･･･①

（※なにか不明点などがありましたら、ご指摘ください）


解：まず①式を展開して整理する。

xy=x+y+1･･･②

次に

y=x+m･･･③

と置く。(mはゼロより大きい整数) ①式に代入し整理すると、

x^2+(m-2)x-m-1=0･･･④

xについて解くと、

\displaystyle{x= \frac{1}2 \{2-m \pm\sqrt{m^2+8} \} } ･･･⑤

このとき、ルートの中が整数の2乗になっていなくてはならない。その整数をnと置くと、

m^2+8=n^2･･･⑥

n^2-m^2=8･･･⑦

(n+m)(n-m)=8･･･⑧

n+mもn-mも整数であり、また、m>0でもあるので、


{\displaystyle 
\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
        n+m &=8 \\
        n-m &=1 ･･･⑨-a
    \end{array}
  \right.
  \left\{
    \begin{array}{l}
        n+m &=-1 \\
        n-m &=-8 ･･･⑨-b
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
}


{\displaystyle 
\begin{eqnarray}
  \left\{
    \begin{array}{l}
        n+m &=4 \\
        n-m &=2 ･･･⑨-c
    \end{array}
  \right.
  \left\{
    \begin{array}{l}
        n+m &=-2 \\
        n-m &=-4 ･･･⑨-d
    \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
}

の4つの式が導かれる。

これらを解くと、
\displaystyle{(n, m) = ( \frac{9}2, \frac{7}2 ), (-\frac{9}2, \frac{7}2 ), (3,1), (-3,1 ) ･･･⑩}
これらより、

m=1･･･⑪

これを③，⑤式に代入すると、

(x, y) = (-1, 0) または (2, 3) ･･･⑫　█

※多くのはてなブログにおける数式のMarkdown記法の記事を、参考にさせていただきました。
ありがとうございました。